Как три вектора один детерминант в нуль обратили

Сказка

о том, как три вектора один детерминант в нуль обратили

Адам Ар, Ева Клид
Цитируется по кн. Щука, 1995

В некотором пространстве, в некотором подпространстве жило-было-задано нормализованное, удобопорядоченное семейство векторов — $I_{1}$, $I_{2}$ и $I_{3}$. Не было у них ни собственных чисел, ни собственных значений — жили, в чем мать-матрица родила. Из периода в период, от $-\pi$ до $\pi$, гнули братья спины на базисе богатого Симплекса — эксплуататора и тунеядца, который всю свою жизнь жил по принципу наименьшего действия.

И не взлюбил их сын Симплекса — Комплекс. Вытворяет над ними свои комплексные штучки: то одну координату отобъёт, то другую... «Не будет нам житья от этого Комплекса, — решили братья. — Нет на него никаких ограничений». И задумали братья обойти все пространства и подпространства, все оболочки и многообразия, а найти правую систему координат. Вышли они в чисто потенциальное поле и пошли с шагом $h/2$ куда глаза глядят.

$\pi$ идут, $2\pi$ и идут... $3\pi$ идут. Стали уже попадаться изоклины. Глядь — блестит голубым разрезом на ровной комплексной плоскости струйное течение. Не простое течение, с кавитацией. «А не половить ли нам рыбки?» — молвил $I_{1}$. «Отчего же нет?» — сказали братья. Забросили они с верхнего берега свою нырявшую виды ортогональную сеть. Смотрят — в сети сигма-рыба бьётся, человеческим голосом разговаривает: «Не губите меня, добрые молодцы, я вам ещё пригожусь». Выпустили её братья на волю и пошли дальше.

Долго ли, коротко ли шли — больше нуля, меньше бесконечности, смотрят: стоит при дороге малый параметр, от голода плачет. Пожалели его братья, накормили ядрами всвёрстку, угостили и повторными. Стал тут параметр на глазах расти, а когда достиг экстремальной величины, поблагодарил братьев, сказал: «Я вам ещё пригожусь!.» — и пропал, будто вовсе его не было.

Потемнело тут небо, исчезло солнышко. Понеслись по дороге листья Мёбиуса, закрутились в воздухе уединённые вихри; огненные разрезы молний раскололи небесную сферу Римана. Оглянулись братья, глядь — при дороге избушка стоит на курьих нужках. «Избушка, избушка, повернись к нам плюсом, к лесу минусом». Попереминалась избушка с ноги на ногу, да и повернулась. Вошли в нее векторы, возрадовались. На столе еда стоит. Поели браться, спросили: «Есть тут кто?» Смотрят — вылазит из-под печки не то вектор, не то скаляр, дробной цепью закованный. «Привет вам, благородные векторы! Я добрый волшебник Ади Аба Ата Коши Мак Лоран. Вот уже полжизни сижу я здесь под стражей злой Наблы-Яги, за отрицание равнозначности...» Не успел он договорить — зашумело, засвистело вокруг. «Бежим, бежим!» вскричал Мак Лоран. Расковали его братья и пустились все вместе наутек. Оглянулись назад, видят — летит по воздуху прекрасная Дельта. Ударилась Дельта оземь, встала на голову и обратилась в страшную Наблу-Ягу. «Чую, чую, векторным духом пахнет!» А векторов уж и след простыл.

Вывел Ади Аба Ата братьев на геодезическую линию, указал дорогу на Div grad, что означает Дивный город, а сам пошёл своим путём.

…И выросли перед братьями стены града великого, подобно тому, как вырастает график тангенса с аргументом, близким к $\pi /2$. И расходилось от него сияние лучистое, подобно тому, как расходятся частичные суммы гармонического ряда. И великая печаль охватила тот город, подобно тому, как охватывает всю совокупность решений уравнения ${\ddot {x}}+\omega ^{2}x=0$ формула $x=C_{1}\sin {\omega t}+C_{2}\cos {\omega t}$, где $C_{1}$ и $C_{2}$ — произвольные постоянные.

Зашли братья в харчевню «U с волной», разговорились с хозяйкой, толстой Тильдой. И рассказала она им о великом несчастье, постигшем их город. Устроил как-то правитель Див-града великий Тензор IV Инвариантный бал по случаю совершеннолетия своей дочери Резольвенты. Такого бала не было еще в его области определения. Приехал на бал граф Икс в самосопряжённой коляске, прибыл князь Синус со своей Синусоидой. Дивные звуки К-мерной музыки, исполнявшейся хором высших гармоник в сопровождении ударных поляр, услаждали слух. Весь зал кружился в танце «Па dt». Вдруг погас свет, заметались по стенам фигуры Лиссажу, переполошились гости. А когда починили пробки, красавицы Резольвенты не было на её месте. Как показало следствие из теоремы о монодромии, её похитил злой волшебник Вандермонд. Он проник на бал, нарушив условия Даламбера-Эйлера и совершив подстановку в рядах стражи. С тех пор удача покинула Див-град.

Крепко запал в душу братьям рассказ Тильды. И решили они померяться силой со злым Вандермондом, вызволить из его рук красавицу Резольвенту. Отправились они в торговые ряды Тейлора, снарядились, погадали на годографе и тронулись в путь.

Скоро сказка сказывается, да не скоро дело делается. Тяжёлые граничные условия не позволили векторам перейти в соседнюю накрестлежащую область, населённую псевдовекторами, где господствовало классовое неравенство Коши — Буняковского. И по огибающей вышли они к точке ветвления, на которой было написано: «Направо пойдёшь — в бесконечность уйдёшь. Налево пойдёшь — координат не соберёшь. Прямо пойдёшь — транспортируешься». Задумались братья. Вдруг откуда ни возьмись — старый знакомый Ади Аба Ата Коши Мак Лоран. «Тяжёлое дело вы замыслили, братья. Трудно одолеть Вандермонда. Смерть его заключена в детерминанте. А детерминант тот находится в додекаэдре. А додекаэдр лежит в икосаэдре. А икосаэдр тот привязан крепко-накрепко тремя узлами к корням полинома Лежандра: первый узел простой, второй — морской, третий — логарифмический. А полином тот растёт в изолированной точке, и добраться до неё нелегко. Лежит она за $3\div 9$ земель в пространстве хана Банаха. И охраняет его чудовище с трансцендентным числом ног, по кличке Декремент. Тот Детерминант надо достать и приравнять к нулю».

Показал им Ади Аба Ата дорогу, и вышли по ней братья к границам непустого множества, заполненного несжимаемой жидкостью. Сидят, гадают, как им быть — не знают. Вдруг откуда ни возьмись — сигма-рыба. «Вот и пригодилась я вам, добрые молодцы!» Перевезла их, объяснила дорогу дальше.

Не успели братья и двух периодов пройти, преградил им путь разрыв второго рода. Опечалились векторы. Откуда ни возьмись малый параметр. «Вот и пригодился я вам, братья!». Ударился оземь, разложился по своим степеням, и перешли братья на другую сторону. «А теперь, — говорит им параметр, — идите по следам матриц до изолированной точки».

Отыскали братья следы, смотрят — расходятся они на три стороны. Пошёл каждый по своему направлению. Шёл-шёл $I_{1}$ — вдруг видит: как из-под земли выросли перед ним многочисленные орты хана-Банаха, все за исключением, быть может, одного, одетые в жорданову форму. «Эх, опечалился вектор, — нет со мной моих любимых братьев! Да ничего! $I_{1}$ в поле воин», — и бесстрашно бросился на врагов. А тут и братья подоспели. Тем и одолели супостата.

Вдруг задрожало всё вокруг, зарезонировало. Разверзлась земля, и появилось перед векторами чудище Декремент. Не растерялись братья, накинули на него веревочный многоугольник. Запуталось в нем чудовище и издохло.

Нашли братья полином, извлекли корни, разрубили узлы, раскрыли икосаэдр, вынули додекаэдр, достали детерминант и приравняли его нулю. Тут и пришел конец Вандермонду. И появилась между братьями красавица Резольвента, живая и невредимая.

…Что и требовалось доказать.

Примечание 1. Сказка написана для случая $n_{0}=3$. Пользуясь методом математической индукции, читатель без труда обобщит ее на случай $n>n_{0}$.

Примечание 2. Обратное, вообще говоря, неверно.